解法说明

按照热爱自然科学的好骚年在这条微博中给出的解法：

无论是哪一年，1月1号只有星期一至星期日这7种情况；除2月（因为润年的变化，有28天、29天2种情况）外各个月的天数固定；所以每年的日期和星期的组合只有7*2种情况。

穷举这14种情况，就可以给出本文问题的结论。

有了思路后，编程写算法到得出结论就只是一二十分钟的问题了。

结论说明

写了Python代码计算出14种情况下一年中一号是星期一的月份有哪几个。
# 代码在文末。

本文问题的结论是：

任意挑一年，一号是星期一的月最多有3个，最少有1个。

详细结论的月份分布见下面的说明。

非润年时，一号是星期一的月份：

一月一号是星期日时： 5
一月一号是星期一时： 1, 10
一月一号是星期二时： 4, 7
一月一号是星期三时： 9, 12
一月一号是星期四时： 6
一月一号是星期五时： 2, 3, 11
一月一号是星期六时： 8

润年时，一号是星期一的月份：

一月一号是星期日时： 10
一月一号是星期一时： 1, 4, 7
一月一号是星期二时： 9, 12
一月一号是星期三时： 6
一月一号是星期四时： 3, 11
一月一号是星期五时： 2, 8
一月一号是星期六时： 5

简单验证

2021年有3个月一号是星期一，2月3月和11月。

2021年不是润年，一月一号是星期五，和上面的计算结果吻合！Bingo！！

计算的Python代码

# Calculate the months which First day is monday
# My related Blog: http://oldratlee.github.io/post/2012-11-13/1-st-day-is-monday-month-count

dayCountOfMonthOfYear = [31, 28, 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, 30, 31]
dayCountOfMonthOfLeapYear = [31, 29, 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, 30, 31]

print "Day count of non-leap year: ", sum(dayCountOfMonthOfYear)
# 365, day count of year
print "Day count of leap year: ", sum(dayCountOfMonthOfLeapYear) 
# 366, day count of Leap year

def getDwsMonths(dayCountOfMonth, firstDay) :
    check = lambda m : (sum(dayCountOfMonth[0 : m]) + firstDay) % 7 == 1
    ret = filter(check, range(0, 12))
    return [x + 1 for x in ret] # adjust month index start with 1

from functools import partial

print "Month list for leap year: ", map(partial(getDwsMonths, dayCountOfMonthOfYear), range(0, 7))
# [[5], [1, 10], [4, 7], [9, 12], [6], [2, 3, 11], [8]]

print "Month list for non-leap year: ", map(partial(getDwsMonths, dayCountOfMonthOfLeapYear), range(0, 7))
# [[10], [1, 4, 7], [9, 12], [6], [3, 11], [2, 8], [5]]

放在github gist上的代码段

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